Das tierische Gleichungssystem
Lineare Gleichungssysteme (LGS), 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten spielend leicht lösen.
Das tierische Problem im Stall
Bauer Huber steht vor seinem Stall, kratzt sich verwundert am Kopf und versucht, Ordnung in das Chaos zu bringen. Seine Gänse schnattern wild durcheinander, während die Schweine fröhlich im Stroh wühlen. Er hat das Chaos kurz überflogen und zwei Dinge festgestellt:
- Er sieht genau 12 Köpfe.
- Und er zählt am Boden insgesamt 34 Beine.
Jetzt fragt er sich verzweifelt: „Wie viele Schweine und wie viele Gänse habe ich eigentlich?!“
Bauer Huber beim Grübeln: Köpfe, Beine und jede Menge Durcheinander!
Die mathematische Übersetzung
Um Huber zu helfen, übersetzen wir das tierische Durcheinander in die Sprache der Mathematik. Wir definieren zwei Unbekannte (Variablen):
x = Anzahl der Schweine
y = Anzahl der Gänse
Da jedes Tier genau einen Kopf hat, lautet unsere erste Gleichung (die Kopf-Gleichung):
Da Schweine bekanntlich 4 Beine haben und Gänse auf 2 Beinen stolzieren, lautet die zweite Gleichung (die Bein-Gleichung):
Das ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)! Es gibt vier klassische Methoden, um dieses Rätsel zu knacken. Schauen wir sie uns nacheinander an.
Die Idee: Wir isolieren ein Tier (eine Variable) in einer Gleichung komplett, sodass es alleine steht. Dann schleusen wir diesen Ausdruck als "Spion" in die andere Gleichung ein!
Schritt-für-Schritt-Anleitung für unseren Stall:
- Gleichung I nach y auflösen:
x + y = 12 | -x
y = 12 - x(Wir wissen nun: Gänse sind gleich 12 minus Schweine) - Diesen Ausdruck für y in Gleichung II einsetzen:
4x + 2*(12 - x) = 34 - Klammer auflösen und nach x berechnen:
4x + 24 - 2x = 34
2x + 24 = 34 | -24
2x = 10 | :2
x = 5(Huber hat also 5 Schweine!) - x in unsere umgestellte Gleichung einsetzen, um y zu finden:
y = 12 - 5
y = 7(Und 7 Gänse!)
Schau dir hier das passende Lernvideo an, um das Verfahren perfekt zu verinnerlichen:
Die Idee: Wir stellen einfach beide Gleichungen nach derselben Variablen um. Wenn zwei Dinge gleich demselben Dritten sind, dann müssen sie auch untereinander gleich sein!
Schritt-für-Schritt-Anleitung für unseren Stall:
- Beide Gleichungen nach y auflösen:
Gleichung I:y = 12 - x
Gleichung II:4x + 2y = 34 | -4x→2y = 34 - 4x | :2→y = 17 - 2x - Die Ausdrücke gleichsetzen (y = y):
12 - x = 17 - 2x - Nach x auflösen:
12 - x = 17 - 2x | +2x
12 + x = 17 | -12
x = 5(Wieder 5 Schweine, puuh!) - In eine der Gleichungen einsetzen für y:
y = 12 - 5 = 7(7 Gänse)
Hier ist das Erklärvideo zum Gleichsetzungsverfahren:
Die Idee: Wir multiplizieren eine oder beide Gleichungen so mit Zahlen, dass vor einer Variablen (z.B. den Gänsen) die gleiche Zahl steht. Dann ziehen wir die Gleichungen voneinander ab, sodass diese Variable komplett verschwindet!
Schritt-für-Schritt-Anleitung für unseren Stall:
- Wir bringen die Gänsebeine auf das gleiche Niveau. Wir multiplizieren Gleichung I mit 2:
Gleichung I * 2 → 2x + 2y = 24 - Nun schreiben wir Gleichung II und die neue Gleichung untereinander:
(II) 4x + 2y = 34
(I*) 2x + 2y = 24 - Wir subtrahieren Gleichung (I*) von Gleichung (II):
(4x - 2x) + (2y - 2y) = 34 - 24
2x + 0 = 10
2x = 10 | :2
x = 5(Das bewährte Ergebnis: 5 Schweine) - Einsetzen in Gleichung I:
5 + y = 12 | -5→y = 7(7 Gänse)
Schau dir das Video an, um zu sehen, wie man Variablen elegant eliminiert:
Die Idee: Jede Gleichung kann als eine Gerade im Koordinatensystem gezeichnet werden. Der Schnittpunkt der beiden Linien ist die perfekte Lösung, an dem sowohl die Köpfe als auch die Beine exakt stimmen!
So gehen wir vor:
Wir formen beide Gleichungen in die klassische Geradenform y = m*x + t um:
- Gerade 1 (Köpfe):
y = -x + 12(Start bei 12 auf der y-Achse, Steigung -1) - Gerade 2 (Beine):
y = -2x + 17(Start bei 17 auf der y-Achse, Steigung -2)
Wenn man diese zeichnet, kreuzen sie sich exakt im Punkt S (5 | 7). Das bedeutet: x = 5 (Schweine) und y = 7 (Gänse)!
Probiere es hier selbst interaktiv im GeoGebra-Applet aus, gib dazu die passenden Geradengleichungen ein:
Das fette Fazit 🐷
Egal welchen mathematischen Pfad wir gewählt haben, das Ergebnis bleibt felsenfest: Bauer Huber hat 5 Schweine und 7 Gänse im Stall stehen. Alle mathematischen Verfahren führen ans Ziel!
Wann nutzt man was?
- Einsetzungsverfahren: Ideal, wenn eine Variable schon ohne Zahl davor herumsteht.
- Gleichsetzungsverfahren: Genial, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind.
- Additions-/ Subtraktionsverfahren: Der absolute Power-Allrounder, wenn vor allen Variablen Zahlen stehen.
- Grafisches Verfahren: Perfekt zum Veranschaulichen, aber ungenau bei krummen Dezimalzahlen!
Wie viele Lösungen kann ein LGS haben? (Grafische Erklärung)
Wenn wir ein lineares Gleichungssystem im Koordinatensystem einzeichnen, gibt es mathematisch gesehen exakt drei Möglichkeiten, wie die beiden Geraden zueinander liegen können:
Die Geraden schneiden sich in exakt einem Punkt. Das LGS hat genau ein Zahlenpaar als Lösung (wie bei unseren Schweinen & Gänsen).
Die Geraden verlaufen echt parallel zueinander. Da sie sich niemals berühren, gibt es keinen gemeinsamen Punkt und somit keine Lösung.
z.B. Der Vater (y) ist 20 Jahre älter als der Sohn (x) und der Vater ist 22 Jahre älter als der Sohn
I) y=x+20
II)y=x+22
Das schafft nicht mal Bauer Huber...
Die beiden Geraden sind identisch und liegen exakt aufeinander. Jeder Punkt auf der Linie ist eine gültige Lösung.
z.B. Der Vater (y) ist 3x so alt als der Sohn (x) und das doppelte Alter vom Vater ist das sechsfache vom Sohn
I) y=3x
II)2y=6x
Darüber lacht Bauer Huber :-)
y=7 Gänse und x=5 Schwein(chen)
Teste dein Stall-Wissen!
I: x + y = 10
II: 2x - y = 8
I: 3x + 2y = 12
II: x - y = 4
I: 2x + 3y = 13
II: 5x - 2y = 4
Ein Hotel hat 20 Zimmer, davon nur 1- und 2-Bett-Zimmer. Es gibt insgesamt 32 Betten.
(Hinweis: x = Anzahl 1-Bett-Zimmer, y = Anzahl 2-Bett-Zimmer)
Ein Vater ist 8-mal so alt wie sein Sohn. Der Vater ist zudem 28 Jahre älter als sein Sohn.
(Hinweis: x = Alter des Vaters, y = Alter des Sohnes)
Bei einer zweistelligen Zahl ist die Zehnerstelle doppelt so groß wie die Einerstelle. Die Quersumme der Zahl ist 9.
(Hinweis: x = Zehnerstelle, y = Einerstelle)
📊 Dein Ergebnis-Bericht:
Schwein gehabt, Tschüß!